Az n gyökkitevő 1-nél nagyobb egész szám lehet, n∈ℕ, n≥2 és a,b∈ℝ.
Ha n gyökkitevő páros (n=2⋅k), akkor a gyök alatt csak nemnegatív valós szám állhat, vagyis a≥0, b≥0.
Ha n gyökkitevő páratlan (n=2⋅k+1), akkor a gyök alatt tetszőleges valós szám állhat.
1. Szorzat n-edik gyöke megegyezik a tényezők n-edik gyökének szorzatával.
| \( \sqrt[n]{a·b}=\sqrt[n]{a}·\sqrt[n]{b} \) | \( \sqrt[3]{8·125}=\sqrt[3]{8}·\sqrt[3]{125} \) | |
| \( \sqrt[3]{1000}=\sqrt[3]{8}·\sqrt[3]{125} \) | ||
| \( 10=2·5 \) |
2. Egy tört n-edik gyöke egyenlő a számláló és a nevező n-edik gyökének hányadosával.
| \( \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \) | b ≠ 0 | \( \sqrt[3]{\frac{1000}{8}}=\frac{\sqrt[3]{1000}}{\sqrt[3]{8}} \) |
| \( \sqrt[3]{125}=\frac{10}{2} \) | ||
| \( 5=5 \) |
3. A gyökvonás és a hatványozás felcserélhető műveletek.
| \( \left( {\sqrt[n]{a}} \right) ^k=\sqrt[n]{a^k} \) | k ∈ ℤ | \( \left( {\sqrt[3]{2}} \right)^6 = \sqrt[3]{2^6} \) |
| \( \sqrt[3]{2}·\sqrt[3]{2}·\sqrt[3]{2}·\sqrt[3]{2}·\sqrt[3]{2}·\sqrt[3]{2} =\sqrt[3]{64} \) | ||
| \( \sqrt[3]{2}·\sqrt[3]{2}·\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{2^3} = 2 \) | ||
| \( 2·2=4 \) |
4. Egymásba ágyazott gyökök esetén a legbelső gyökjel alatti kifejezésből az eredeti gyökkitevők szorzatával képzett gyökkitevővel vonunk gyököt.
| \( \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n·m]{a} \) | m ∈ ℕ; m ≥ 2 | \( \sqrt[3]{\sqrt[2]{64}}=\sqrt[2·3]{64} \) |
| \( \sqrt[3]{8}=\sqrt[6]{64} \) | ||
| \( 2=2 \) |
5. A gyökkitevő és hatványkitevő bővíthető és egyszerűsíthető.
| \( \sqrt[n]{a^m}= \) \( \sqrt[n⋅k]{a^{m⋅k}} \) | k ∈ ℕ; k ≥ 2; m ∈ ℤ | \( \sqrt[2]{2^4}=\sqrt[2·3]{2^{4·3}} \) |
| \( \sqrt[2]{2^4}=\sqrt[6]{2^{12}} \) | ||
| \( \sqrt[2]{16}=\sqrt[6]{4096}=\sqrt[6]{4·4·4·4·4·4} \) | ||
| \( 4=\sqrt[6]{4^6}=4 \) |
Emeljük n-edik hatványra az állítás mindkét oldalát!
\( \left(\sqrt[n]{a·b} \right)^n= \)\( \left( \sqrt[n]{a} \right)^n·\left( \sqrt[n]{b} \right)^n \)
A baloldal n-edik hatványa: \( \left(\sqrt[n]{a·b} \right)^n=a·b \), az n-edik gyök definíciója szerint.
A jobboldal n-edik hatványa, felhasználva, hogy egy szorzat tényezőnként hatványozható, és hivatkozva az n-edik gyök definíciójára:
\( (\sqrt[n]{a}·\sqrt[n]{b})^n=(\sqrt[n]{a})^n·(\sqrt[n]{b})^n=a·b \)
Mivel mindkét estben ugyanazt kaptuk, az állítás tehát igaz.
Bizonyítás:
Emeljük n-edik hatványra az állítás mindkét oldalát! A baloldal n-edik hatványa: \( \left(\sqrt[n]{\frac{a}{b}} \right)^n=\frac{a}{b} \), az n-edik gyök definíciója szerint.
A jobboldal n-edik hatványa, felhasználva, hogy egy törtnél a számláló és a nevező külön-külön is hatványozható, és hivatkozva az n-edik gyök definíciójára: \( \left( \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \right)^n \)=\( \frac{(\sqrt[n]{a})^n}{(\sqrt[n]{b})^n}=\frac{a}{b} \)
Mivel mindkét estben ugyanazt kaptuk, az állítás tehát igaz.
Bizonyítás:
Emeljük n-edik hatványra az állítás mindkét oldalát!
A baloldal n-edik hatványa, felhasználva, hogy hatvány hatványozásánál a kitevők felcserélhetők: \( \left( \left( \sqrt[n]{a}\right)^k \right)^n=\left( \left(\sqrt[n]{a} \right)^n \right)^k =a^{k} \)
A jobboldal n-edik hatványa a n-edik gyök definíciója szerint: \( \left( \sqrt[n]{a^k} \right)^n=a^{k} \)
Mivel mindkét estben ugyanazt kaptuk, az állítás tehát igaz.
Bizonyítás:
Emeljük n-edik, majd m-edik hatványra az állítás mindkét oldalát!
A baloldalon:\( \left( \left(\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} \right)^n\right)^m \)=\( \left(\sqrt[m]{a}\right)^m=a \). Itt felhasználtuk két ízben is az n-edik gyök definícióját.
A jobb oldalon: \( \left( \left(\sqrt[n·m]{a} \right)^n\right)^m=\left( \sqrt[n·m]{a} \right)^{n·m}=a \)
Mivel mindkét estben ugyanazt kaptuk, az állítás tehát igaz.
Bizonyítás:
Emeljük n-edik hatványra a baloldali kifejezést! \( \left( \sqrt[n]{a^m}\right)^n=a^{m} \)
Emeljük n-edik hatványra a jobboldali kifejezést! \( \left(\sqrt[n·k]{a^{m·k}} \right)^n=\sqrt[k]{a^{m·k}} =a^{m} \)
Mivel mindkét estben ugyanazt kaptuk, az állítás tehát igaz.
Végezd el az alábbi műveleteket!
a) \( \sqrt{x·\sqrt[3]{x^{2}·\sqrt[4]{x}}} \), x≥0
b) \( \frac{\sqrt{x^{3}}·\sqrt[4]{x}·\sqrt[6]{x^{2}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} \), x>0
a) \( \sqrt{x·\sqrt[3]{x^{2}·\sqrt[4]{x}}} \), x≥0. Haladjunk belülről kifelé!
Vigyük be az x2-t a negyedik gyök alá negyedik hatványra emeléssel!
Így a negyedik gyök alatt x9-t kaptunk: \( \sqrt{x·\sqrt[3]{\sqrt[4]{x^{9}}}} \).
Az egymásba ágyazott gyököket a gyökkitevők összeszorzásával összevonva: \( \sqrt{x·\sqrt[12]{x^{9}}} \) .
Ismételjük meg az eljárást, vigyük be az „x”-t 12. hatványra emelve a 12. gyök alá: \( \sqrt{\sqrt[12]{x^{12}·x^{9}}} \).
A gyök alatti azonos kitevőjű hatványokat összevonva, az egymásba ágyazott gyököket a gyökkitevők összeszorzásával összevonva: \( \sqrt[24]{x^{21}} \).
Mivel a 24-nek és a 21-nek van közös osztója, ezért ennek az eredménynek egy egyszerűbb alakja: \( \sqrt[8]{x^{7}} \).
b) \( \frac{\sqrt{x^{3}}·\sqrt[4]{x}·\sqrt[6]{x^{2}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} \), x>0.
Hozzuk a számlálóban és a nevezőben lévő gyökök kitevőit közös kitevőre: \( \frac{\sqrt[12]{x^{18}}·\sqrt[12]{x^{3}}·\sqrt[12]{x^{10}}}{\sqrt[12]{x^{8}}} \).
A számlálóban lévő gyököket vigyük egy gyök alá és a hatványkitevőket összegezzük:\( \frac{\sqrt[12]{x^{31}}}{\sqrt[12]{x^{8}}} \).
A számlálót és a nevezőt közös gyök alá helyezve és az azonos alapú hatványok osztását elvégezve: \( \sqrt[12]{\frac{x^{31}}{x^{8}}}=\sqrt[12]{x^{23}} \).
Hozzuk egyszerűbb alakra! Amit lehet, vigyünk ki a gyök elé: \( \sqrt[12]{x^{23}}=\sqrt[12]{x^{12}·x^{11}}=x·\sqrt[12]{x^{11}} \).